MP board 12th Math Trimasik Paper 2021-22 Full Solution PDF download 2021-22
Class 12th Maths рдд्рд░िрдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ा рдХा syllabus ―
рдд्рд░िрдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдХे рдЖрддे рд╣ी рд╕рднी рдмрдЪ्рдЪों рдХे рдорди рдоें рдПрдХ рд╣ी рдк्рд░рд╢्рди рд╣ोрддा рд╣ै рдХि рд╣рдоाрд░ी рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдоें рдХिрддрдиा рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдЖрдПрдЧा рдЖрдкрдХी рдд्рд░ि-рдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдоें рдХुрд▓ рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдХा 33% рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдкूрдЫा рдЬाрддा рд╣ै рдЬिрд╕рдоें рдЖрдк рд╕े рдХिрди-рдХिрди рдЕрдз्рдпाрдп рд╕े рдк्рд░рд╢्рди рдкूрдЫे рдЬाрдПंрдЧे рдЖрдкрдХे рдЗрд╕ рд╕рд╡ाрд▓ рдХा рд╕्рдкрд╖्рдЯ рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдпрд╣ां рдкрд░ рдд्рд░िрдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ा рдХे рд▓िрдП рд░рд╕ाрдпрди рд╢ाрд╕्рдд्рд░ syllabus рдЙрдкрд▓рдм्рдз рд╣ै рдЬो рдХि рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рд╣ै―
MathsImportant questions with solution
рдд्рд░िрдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдХे рдЖрддे рд╣ी рд╕рднी рдмрдЪ्рдЪों рдХे рдорди рдоें рдПрдХ рд╣ी рдк्рд░рд╢्рди рд╣ोрддा рд╣ै рдХि рд╣рдоाрд░ी рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдоें рдХिрддрдиा рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдЖрдПрдЧा рдЖрдкрдХी рдд्рд░ि-рдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдоें рдХुрд▓ рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдХा 33% рд╕िрд▓ेрдмрд╕ рдкूрдЫा рдЬाрддा рд╣ै рдЬिрд╕рдоें рдЖрдк рд╕े рдХिрди-рдХिрди рдЕрдз्рдпाрдп рд╕े рдк्рд░рд╢्рди рдкूрдЫे рдЬाрдПंрдЧे рдЖрдкрдХे рдЗрд╕ рд╕рд╡ाрд▓ рдХा рд╕्рдкрд╖्рдЯ рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдпрд╣ां рдкрд░ рдд्рд░िрдоाрд╕िрдХ рдкрд░ीрдХ्рд╖ा рдХे рд▓िрдП рд░рд╕ाрдпрди рд╢ाрд╕्рдд्рд░ syllabus рдЙрдкрд▓рдм्рдз рд╣ै рдЬो рдХि рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рд╣ै―
Chapter - 1рд╕рдо्рдмрди्рдз(Relations)
рдк्рд░рд╢्рди 1. рдоाрдиा A= {1,2,3,4} рддрдеा R= {(a,b):a ,D∈A, рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддा рд╣ै । рдХो рддрдеा b рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддा рд╣ै a рдХो рджिрдЦाрдЗрдП рдХि R рд╕े A рдоें рдЗрдХाрдИ рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
рд╣рд▓ : рджिрдпा рд╣ै A = {1,2,3,4} рддрдеा a,b∈A, a рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддा рд╣ै b рдХो рддрдеा b рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддा рд╣ै a рдХो
=> a =b
∴ R = {(a,a), a∈A}
={(1,1),(2,2),(3,3), (4,4)}
рдЕрдд: R рд╕े A рдоें рдЗрдХाрдИ рд╕ंрдмंрдз рд╣ै।
рдк्рд░рд╢्рди 2.рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдпे рдХि рдк्рд░ाрдХृрддिрдХ рд╕ंрдЦ्рдпाрдУं рдХे рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп
рдоें рд╕рдо्рдмрди्рдз "рдЫोрдЯा рд╣ै" (is less than) рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╣ै?
рд╣рд▓ : рдоाрдиा рд╕рднी рдк्рд░ाрдХृрддिрдХ рд╕ंрдЦ्рдпाрдУं рдХा рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп N рд╣ै рдЬिрд╕рдоें
рд╕рдо्рдмрди्рдз R "рдЫोрдЯा рд╣ै" рдХे рдж्рд╡ाрд░ा рдкрд░िрднाрд╖िрдд рд╣ै।
рдоाрдиा a, b,c∈N
рдЕрдм рдпрджि a<b рддрдеा b<c рддрдм a<c рдЕрд░्рдеाрдд् рдпрджि a ,b рд╕े рдЫोрдЯा рд╣ै рддрдеा bc рд╕े рдЫोрдЯा рд╣ै, рддो рдЕрд╡рдпрд╡ рднी рд╕े рдЫोрдЯा рд╣ोрдЧा।
рдЕрддрдПрд╡ a R b рддрдеा b R c => a R c
:. R, рдПрдХ рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╕рдо्рдмрди्рдз (transitive relation) рд╣ै।
рдк्рд░рд╢्рди 3. рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдпे рдХि рдзрди рдкूрд░्рдгांрдХों рдХे рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп Nрдоें рдкрд░िрднाрд╖िрдд рд╕рдо्рдмंрдз R = {(x,y) : x-y , n (n>1) рд╕े рд╡िрднाрдЬिрдд рд╣ै, рдЬрд╣ाँ n,x,y ∈ N рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा рд╕рдо्рдмрди्рдз рд╣ै।
рд╣рд▓ : (i) рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП
рдоाрдиा x ∈ N рддो x - x=0 рдЬो n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ै। рдЕрддрдПрд╡ (x,x) ∈ R ∀ x ∈ N.
: . R рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╕рдо्рдмрди्рдз (reflexive relation) рд╣ै।
(ii) рд╕рдордоिрддрддा рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП
рдоाрдиा x, y ∈ N рддрдеा (x,y) ∈ R рддो x-y, n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ोрдЧा। рдЕрдм y-x = -(x-y) рдФрд░ x-y, n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ै, рдЗрд╕рд▓िрдпे y-x рднी n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ोрдЧा, рдЕрд░्рдеाрдд् (y,x)∈ R рдЕрддः (x,y) ∈ R рд╕ंрдмंрдз рдХे рд▓िрдпे = (y,x)∈ R ∀ x,y ∈ N
.:. R, рд╕рдордоिрдд рд╕рдо्рдмрди्рдз (symmetric relation) рд╣ै।
(ii) рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХрддा рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП
рдоाрдиा x, y, z ∈ N рддрдеा рдпрджि (x, y) ∈ R рдФрд░ (y,z) ∈ R рд╣ों рддो (x, y) ∈ R рдФрд░ (y, z) ∈ R
=>. x-y рдФрд░ y-z рджोрдиों рд╣ी n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ोंрдЧे।
=>. (x-y) + (v-2) рднी n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ैं।
=>. x-z, n рд╕े рд╡िрднाрдЬ्рдп рд╣ै (x, z) ∈ R
рдЕрддः (x, y) ∈ R рдФрд░ (y,z) ∈ R
=>. (x, 2)∈ R ∀ x, y, z∈ N.
:. R рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╕рдо्рдмрди्рдз (transitive relation) рд╣ै।
рдЕрддः рдзрди рдкूрд░्рдгांрдХों рдХे рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп N рдоें, R рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा
рд╕рдо्рдмрди्рдз рд╣ै।
рдк्рд░рд╢्рди 4. рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдП рдХि рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп Nx Nрдкрд░ рдкрд░िрднाрд╖िрдд рд╕ंрдмंрдз R = {{a, b) R (c, a) a +d = b + c) рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
рд╣рд▓ : (i) рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП,
рдоाрдиा (a, b) ∈ R ∀ a,b ∈ R
рдЕрдм a+ b = b+a
::. (a, b) R (b, a) рдЕрдд: (b, a) ∈ R
.:. R рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╣ै।
(ii) рд╕рдордоिрдд рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП,
рдоाрдиा (a, b), (c, d) ∈ R рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рд╣ै рдХि.
(a, b) R (c,d) = > a+d= b+c
=>. b + c = a + d
=>. c+b= d + a
=>. (c, d) R (a, b)
.:. R, рд╕рдордоिрдд рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
(iii) рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП,
рдоाрдиा (a, b), (c, d), (e, f) ∈ R рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рд╣ैं рдХि
(a, b) R (c, d) рддрдеा (c, d) R (e.,f)
рддрдм a+d = b+ c рддрдеा c+f = d+e
=>. a+d + c +f= b+ c + d+e
=>. a+ f. =. b+e
=>. (a, b). R (e,f)
::. R рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╣ै।
рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рдЪूँрдХि R, рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп, рд╕рдордоिрдд рддрдеा рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╣ै рдЕрдд: R рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा рд╕рдо्рдмрди्рдз рд╣ै।
рдк्рд░рд╢्рди 5. рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдП рдХि рдкрд░ рдкрд░िрднाрд╖िрдд рд╕ंрдмंрдз R= {(a, b) : a) = f(b)} рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
рд╣рд▓ : (i) рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП,
f(x) = f(x) ∀ x ∈ X
[рдкрд░िрднाрд╖ा рд╕े f (a) = f(b) ∀ a, b ∈ X
=>. (x,x)∈ R ∀ x ∈ X
рдЕрдд: R рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп рд╣ै।
(ii) рд╕рдордоिрдд рд╕рдо्рдмрди्рдз рдХे рд▓िрдП,
рдоाрдиा (x, y) ∈ R ∀ x, y ∈ X
рддрдм. f(x) = f (y). => f (y) = f(x)
:. (x, y) ∈ R. ∀ x, y ∈ X
::. (y,x) ∈ R. ∀ x, y ∈ X
рдЕрдд: R. рд╕рдордоिрдд рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
(iii) рд╕ंрдХ्рд░рдордг рд╕ंрдмंрдз рдХे рд▓िрдП
рдоाрдиा x, y, z ∈ X
рддрдм (x,y) ∈ R рддрдеा (y, z) ∈ R
=> f(x) = f(y) ∀ x, y ∈ X
рддрдеा f(y) = f(z) ∀ y ,z ∈ X
:. f(x) = f(z) ∀ x, z ∈ R
=>. ( x ,z) ∈ R ∀ x, z ∈ R
рдЕрдд: R рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╕рдо्рдмंрдз рд╣ै।
рдЪूँрдХि R рд╕्рд╡рддुрд▓्рдп, рд╕рдордоिрдд рддрдеा рд╕ंрдХ्рд░ाрдордХ рд╣ै рдЗрд╕рд▓िрдП R рдПрдХ рддुрд▓्рдпрддा рд╕рдо्рдмрди्рдз рд╣ै।
рдк्рд░рд╢्рди 6. рдпрджि A = {-2,-1,0,1,2} рддрдеा f:A→R рдЬрд╣ाँ рдкрд░िрднाрд╖िрдд рд╣ै f(x) = x +1, рддो рдХा рдкрд░ाрд╕ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдП।
рд╣рд▓ : рдпрд╣ां f(x) : A→ R рдоें f(x) = x +1рдж्рд╡ाрд░ा рдкрд░िрднाрд╖िрдд рдлрд▓рди рд╣ै
рдЪूँрдХि xEA рдЗрд╕рд▓िрдП f(x) = x +1 рдоें x рдХे рдоाрди рд░рдЦрдиे рдкрд░
рдЬрдм x = -2 рддрдм f(x) = f(-2) = (-2) +1 = 5
рдЬрдм x = -1 рддрдм f(x) = f(-1) = (-1) +1 = 2
рдЬрдм x = 0 рддрдм f(x) = f (0) = (0) +1 = 1
рдЬрдм x = 1 рддрдм f(x) = f (1) = (1) +1 = 2
рдЬрдм x= 2 рддрдм f(x) = f (2) = (2) +1 = 5
R=. {(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}
рдЕрдд: R рдХा рдкрд░ाрд╕ = рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп A рдХे рд╕рднी рдЕрд╡рдпрд╡ों рдХे f-рдк्рд░рддिрдмिрдо्рдмों рдХा рд╕рдоुрдЪ्рдЪрдп = {1,2,5}
рдЗрд╕рд╕े рдЖрдЧे рдХे chapters рдХे рдорд╣рдд्рд╡рдкूрд░्рдг рдк्рд░рд╢्рдиों рдХे рд╕ॉрд▓्рдпूрд╢рди PDF рдоें рдЙрдкрд▓рдм्рдз рд╣ैं। рдФрд░ рдорд╣рдд्рд╡рдкूрд░्рдг рдк्рд░рд╢्рдиों рдХे рд▓िрдП PDF рдбाрдЙрдирд▓ोрдб рдХрд░ें।
Note - рджोрд╕्рддों рдЖрд╢ा рдХрд░рддे рд╣ैं рдЖрдкрдХो рд╣рдоाрд░ी рдпрд╣ рдкोрд╕्рдЯ рдкрд╕ंрдж рдЖрдИ рд╣ो рдпрд╣ рдЕрд╡рд╢्рдп рдЖрдкрдХी рдкрд░ीрдХ्рд╖ाрдУं рдХे рд▓िрдП рд╕рд╣ाрдпрддा рдк्рд░рджाрди рдХрд░ेрдЧी рдЗрд╕े рдЕрдкрдиे рд╕рднी рджोрд╕्рддों рдоें рд╢ेрдпрд░ рдЕрд╡рд╢्рдп рдХрд░ें рдЬिрд╕рд╕े рдХि рд╕рднी рд╡िрдж्рдпाрд░्рдеिрдпों рдХी рдорджрдж рд╣ो рд╕рдХे рдФрд░ рд╣рдоें рдХрдоेंрдЯ рдХрд░рдХे рдмрддाрдПं рдХी рдЖрдкрдХो рд╣рдоाрд░ी рдкोрд╕्рдЯ рдХैрд╕ी рд▓рдЧी।
рдПрдХ рдЯिрдк्рдкрдгी рднेрдЬें