MP board 12th Math Trimasik Paper 2021-22 Full Solution PDF download 2021-22
Class 12th Maths त्रिमासिक परीक्षा का syllabus ―
त्रिमासिक परीक्षाओं के आते ही सभी बच्चों के मन में एक ही प्रश्न होता है कि हमारी परीक्षाओं में कितना सिलेबस आएगा आपकी त्रि-मासिक परीक्षाओं में कुल सिलेबस का 33% सिलेबस पूछा जाता है जिसमें आप से किन-किन अध्याय से प्रश्न पूछे जाएंगे आपके इस सवाल का स्पष्ट करने के लिए यहां पर त्रिमासिक परीक्षा के लिए रसायन शास्त्र syllabus उपलब्ध है जो कि इस प्रकार है―
MathsImportant questions with solution
त्रिमासिक परीक्षाओं के आते ही सभी बच्चों के मन में एक ही प्रश्न होता है कि हमारी परीक्षाओं में कितना सिलेबस आएगा आपकी त्रि-मासिक परीक्षाओं में कुल सिलेबस का 33% सिलेबस पूछा जाता है जिसमें आप से किन-किन अध्याय से प्रश्न पूछे जाएंगे आपके इस सवाल का स्पष्ट करने के लिए यहां पर त्रिमासिक परीक्षा के लिए रसायन शास्त्र syllabus उपलब्ध है जो कि इस प्रकार है―
Chapter - 1सम्बन्ध(Relations)
प्रश्न 1. माना A= {1,2,3,4} तथा R= {(a,b):a ,D∈A, विभाजित करता है । को तथा b विभाजित करता है a को दिखाइए कि R से A में इकाई सम्बंध है।
हल : दिया है A = {1,2,3,4} तथा a,b∈A, a विभाजित करता है b को तथा b विभाजित करता है a को
=> a =b
∴ R = {(a,a), a∈A}
={(1,1),(2,2),(3,3), (4,4)}
अत: R से A में इकाई संबंध है।
प्रश्न 2.सिद्ध कीजिये कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय
में सम्बन्ध "छोटा है" (is less than) संक्रामक है?
हल : माना सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N है जिसमें
सम्बन्ध R "छोटा है" के द्वारा परिभाषित है।
माना a, b,c∈N
अब यदि a<b तथा b<c तब a<c अर्थात् यदि a ,b से छोटा है तथा bc से छोटा है, तो अवयव भी से छोटा होगा।
अतएव a R b तथा b R c => a R c
:. R, एक संक्रामक सम्बन्ध (transitive relation) है।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिये कि धन पूर्णांकों के समुच्चय Nमें परिभाषित सम्बंध R = {(x,y) : x-y , n (n>1) से विभाजित है, जहाँ n,x,y ∈ N एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल : (i) स्वतुल्य सम्बन्ध के लिए
माना x ∈ N तो x - x=0 जो n से विभाज्य है। अतएव (x,x) ∈ R ∀ x ∈ N.
: . R स्वतुल्य सम्बन्ध (reflexive relation) है।
(ii) सममितता सम्बन्ध के लिए
माना x, y ∈ N तथा (x,y) ∈ R तो x-y, n से विभाज्य होगा। अब y-x = -(x-y) और x-y, n से विभाज्य है, इसलिये y-x भी n से विभाज्य होगा, अर्थात् (y,x)∈ R अतः (x,y) ∈ R संबंध के लिये = (y,x)∈ R ∀ x,y ∈ N
.:. R, सममित सम्बन्ध (symmetric relation) है।
(ii) संक्रामकता सम्बन्ध के लिए
माना x, y, z ∈ N तथा यदि (x, y) ∈ R और (y,z) ∈ R हों तो (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R
=>. x-y और y-z दोनों ही n से विभाज्य होंगे।
=>. (x-y) + (v-2) भी n से विभाज्य हैं।
=>. x-z, n से विभाज्य है (x, z) ∈ R
अतः (x, y) ∈ R और (y,z) ∈ R
=>. (x, 2)∈ R ∀ x, y, z∈ N.
:. R संक्रामक सम्बन्ध (transitive relation) है।
अतः धन पूर्णांकों के समुच्चय N में, R एक तुल्यता
सम्बन्ध है।
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय Nx Nपर परिभाषित संबंध R = {{a, b) R (c, a) a +d = b + c) एक तुल्यता सम्बंध है।
हल : (i) स्वतुल्य सम्बन्ध के लिए,
माना (a, b) ∈ R ∀ a,b ∈ R
अब a+ b = b+a
::. (a, b) R (b, a) अत: (b, a) ∈ R
.:. R स्वतुल्य है।
(ii) सममित सम्बन्ध के लिए,
माना (a, b), (c, d) ∈ R इस प्रकार है कि.
(a, b) R (c,d) = > a+d= b+c
=>. b + c = a + d
=>. c+b= d + a
=>. (c, d) R (a, b)
.:. R, सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बन्ध के लिए,
माना (a, b), (c, d), (e, f) ∈ R इस प्रकार हैं कि
(a, b) R (c, d) तथा (c, d) R (e.,f)
तब a+d = b+ c तथा c+f = d+e
=>. a+d + c +f= b+ c + d+e
=>. a+ f. =. b+e
=>. (a, b). R (e,f)
::. R संक्रामक है।
इस प्रकार चूँकि R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है अत: R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि पर परिभाषित संबंध R= {(a, b) : a) = f(b)} एक तुल्यता सम्बंध है।
हल : (i) स्वतुल्य सम्बन्ध के लिए,
f(x) = f(x) ∀ x ∈ X
[परिभाषा से f (a) = f(b) ∀ a, b ∈ X
=>. (x,x)∈ R ∀ x ∈ X
अत: R स्वतुल्य है।
(ii) सममित सम्बन्ध के लिए,
माना (x, y) ∈ R ∀ x, y ∈ X
तब. f(x) = f (y). => f (y) = f(x)
:. (x, y) ∈ R. ∀ x, y ∈ X
::. (y,x) ∈ R. ∀ x, y ∈ X
अत: R. सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रमण संबंध के लिए
माना x, y, z ∈ X
तब (x,y) ∈ R तथा (y, z) ∈ R
=> f(x) = f(y) ∀ x, y ∈ X
तथा f(y) = f(z) ∀ y ,z ∈ X
:. f(x) = f(z) ∀ x, z ∈ R
=>. ( x ,z) ∈ R ∀ x, z ∈ R
अत: R संक्रामक सम्बंध है।
चूँकि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है इसलिए R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
प्रश्न 6. यदि A = {-2,-1,0,1,2} तथा f:A→R जहाँ परिभाषित है f(x) = x +1, तो का परास ज्ञात कीजिए।
हल : यहां f(x) : A→ R में f(x) = x +1द्वारा परिभाषित फलन है
चूँकि xEA इसलिए f(x) = x +1 में x के मान रखने पर
जब x = -2 तब f(x) = f(-2) = (-2) +1 = 5
जब x = -1 तब f(x) = f(-1) = (-1) +1 = 2
जब x = 0 तब f(x) = f (0) = (0) +1 = 1
जब x = 1 तब f(x) = f (1) = (1) +1 = 2
जब x= 2 तब f(x) = f (2) = (2) +1 = 5
R=. {(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}
अत: R का परास = समुच्चय A के सभी अवयवों के f-प्रतिबिम्बों का समुच्चय = {1,2,5}
इससे आगे के chapters के महत्वपूर्ण प्रश्नों के सॉल्यूशन PDF में उपलब्ध हैं। और महत्वपूर्ण प्रश्नों के लिए PDF डाउनलोड करें।
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